cbee a écrit :
Il ne s'agit pas d'une "seconde partie de démonstration" mon cher Pégase Junior. Mais d'une autre formule! Et qui plus est une équation d'état, une approximation qui contient de toute façon une variable qui intègre la pression (et au niveau de la mer en plus)! T'as vu, d'ailleurs il y en a une qui commence par Cgaz et l'autre par Cair ...
Bon, je vais devoir employer les grands moyens mais c'est toi qui m'y pousses, je vais te montrer par A + B qu'il s'agit effectivement d'une équation d'état qui ne contient aucune approximation et qu'il n'y a pas de variable intégrant la pression. La seule approximation c'est que nous considérons l'air comme un gaz parfait, ce qui n'est pas le cas dans la réalité.
PARTIE N° 1 :
Pour commencer, nous avons tous appris à l'école que pour un gaz parfait P.V = n.R.T, avec P la pression, V le volume, n le nbre de mol , R la constante universelle des gaz et T la température en Kelvin.
comme nous avons n = (N/Na) = (m/M) et r = R/M, ou N est le nbre total de molécules, Na le nbre d'avogadro, m la masse considérée, M la masse molaire du gaz et r la constante individuelle de chaque gaz.
Nous obtenons alors P.V = m.r.T
Et comme ρ = m/V, ρ étant la masse volumique, nous obtenons au final (P/ρ) = r . T, qui est une autre écriture de la loi des gaz parfaits pour un gaz considéré, en l'occurence pour l'air r = 287 USI.
Equation 1 : (P/ρ) = r . T
PARTIE N°2 :
On sait également que pour un gaz parfait, on a loi de poisson
P.V puissance κ = cste
avec κ = 1,4 USI qui est le coefficient adiabatique de l'air κ = Cp / Cv, je veux bien vous faire la démonstration mais je doute d'avoir les symboles mathématiques pour et cela risque d'être long. Si cela s'avère nécessaire je peux le faire pour les fans de thermodynamique.
Equation 2 : P.V puissance κ = Cste c'est la loi de poisson
Partie N°3 :
L'air est un fluide compressible, c'est à dire que sa masse volumique varie par exemple lorsque la pression varie, pour caractériser cette compressibilité on est amené à comparer la cause (variation de pression dP) à l'effet (variation de masse volumique dρ) c'est à dire à considérer le rapport (dρ/dP).
On remarque alors que (dρ/dP) = (1/v²), où v est une vitesse en m/s. C'est le dimensionnement des unités qui permet d'arriver à cette déduction. Ce rapport qui nous permet de déduire que v = √(dP/dρ) = a vitesse de propagation des ondes sonores qui sont essentiellement des variations de pressions.
Equation 3 : a = √(dP/dρ)
Partie N°4 :
Si l'on admet que les variations de pression dans l'air se font sans échange de chaleur avec l'extérieur et sans perte, on peut alors appliquer la loi de Poisson relative aux variations isentropiques de pression.
Donc P.V puissance κ = cste donne
P . ((m/ρ) puissance κ) = cste,
d'ou en sortant la masse on trouve : P / ρ puissance κ = cste'.
si on introduit un logarithme népérien on obtient alors :
Ln (P / ρ puissance κ) = Ln cste' = cste''
D'où : Ln P - Ln (ρ puissance κ) = cste''
Donc Ln P - κ Ln ρ = cste''
Et par dérivation on obtient alors dP/P - κdρ/ρ = 0
D'où on tire a² = dP/dρ = κ . P/ρ
Or on sait que (P/ρ) = r . T, équation 1 et que a = √(dP/dρ), équation 3
d'où a² = κ . r . T et par conséquent nous avons :
a = √(κ . r . T)
où κ et r sont des constantes indépendantes de la pression, donc la vitesse de propagation du son dans l'air considéré comme un gaz parfait
n'est fonction que de la température et absolument pas de la pression. (Attention ce raisonnement n'est pas vrai dans un corps solide ou liquide).
Et pour finir avec κ = 1,4 USI et r = 287,15 USI, nous avons :
a = 20,1√(T), avec T en Kelvin a est alors en m/s
Maintenant cbee, je veux bien que tu me montres où se situe mon erreur.
